橢圓的中心及其對(duì)稱性；判斷曲線關(guān)于x軸、y軸及原點(diǎn)對(duì)稱的依據(jù)；如果曲線具有關(guān)于x軸、y軸及原點(diǎn)對(duì)稱中的任意兩種，那么它也具有另一種對(duì)稱性；注意橢圓不因坐標(biāo)軸改變的固有性質(zhì)。下面是圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)。

高中圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、教學(xué)內(nèi)容：

橢圓的方程

高考要求：理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).

重點(diǎn)：橢圓的方程與幾何性質(zhì).

難點(diǎn)：橢圓的方程與幾何性質(zhì).

二、知識(shí)點(diǎn)：

1、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形和性質(zhì)

定義第一定義：面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn))的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距第二定義：

面內(nèi)到動(dòng)點(diǎn)距離與到定直線距離的比是常數(shù)e.(0

標(biāo)

準(zhǔn)

方

程焦點(diǎn)在x軸上

焦點(diǎn)在y軸上

圖形焦點(diǎn)在x軸上

焦點(diǎn)在y軸上

性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上

范圍：

對(duì)稱性：軸、軸、原點(diǎn).

頂點(diǎn)：，.

離心率：e

概念：橢圓焦距與長軸長之比

定義式：

范圍：

2、橢圓中a，b，c，e的關(guān)系是：(1)定義：r1+r2=2a

(2)余弦定理：+-2r1r2cos(3)面積：=r1r2sin?2c|y0|(其中P()

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：

1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，長軸長為___2____，短軸長為2、橢圓的值是__3或5__;

3、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為___;

4、已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是7，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)5、設(shè)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，B1B是短軸，，則橢圓的離心率為6、方程=10，化簡的結(jié)果是;

滿足方程7、若橢圓短軸上的兩個(gè)三等分點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，則橢圓的離心率為

8、直線y=kx-2與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓9、在面直角坐標(biāo)系頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓上，則10、已知點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A(4，1)是橢圓內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)P(x，y)(x0)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是8.

【典型例題】

例1、(1)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長軸長是短軸長的3倍，短軸長為4，求橢圓的方程.

(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到右頂點(diǎn)的距離為1，求橢圓的方程.

解：設(shè)方程為.

所求方程為(3)已知三點(diǎn)P，(5，2)，F(xiàn)1(-6，0)，F(xiàn)2(6，0).設(shè)點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為，求以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓方程.

解：(1)由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(4)求經(jīng)過點(diǎn)M(，1)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解：設(shè)方程為

例2、如圖所示，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星運(yùn)行軌道是以地心(地球的中心)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，已知它的地點(diǎn)A(離地面最的點(diǎn))距地面439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)B(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面2384km，并且、A、B在同一直線上，設(shè)地球半徑約為6371km，求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程(精確到1km).

解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A、B、在軸上，

則=|OA|-|O|=|A|=6371+439=6810

解得=7782.5，=972.5

.

衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程為

例3、已知定圓

分析：由兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值根據(jù)圖形，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示此結(jié)論：

上式可以變形為，又因?yàn)椋�所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓

解：知圓可化為：圓心Q(3，0)，

設(shè)動(dòng)圓圓心為，則為半徑又圓M和圓Q內(nèi)切，所以，

即，故M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓，且PQ中點(diǎn)為原點(diǎn)，所以，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是：

例4、已知橢圓的焦點(diǎn)是|和|(1)求橢圓的方程;

(2)若點(diǎn)P在第三象限，且=120，求.

選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用等比定理進(jìn)行解題.

解：(1)由題設(shè)||=2||=4

(2)設(shè)，則=60-

由正弦定理得：

由等比定理得：

.

說明：曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線構(gòu)成的三角形稱曲線三角形，與曲線三角形有關(guān)的問題常常借助正(余)弦定理，借助比例性質(zhì)進(jìn)行處理.對(duì)于第二問還可用后面的幾何性質(zhì)，借助焦半徑公式余弦定理把P點(diǎn)橫坐標(biāo)先求出來，再去解三角形作答

例5、如圖，已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向軸作垂線段PP?@，求線段PP?@的中點(diǎn)M的軌跡(若M分PP?@之比為，求點(diǎn)M的軌跡)

解：(1)當(dāng)M是線段PP?@的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則的坐標(biāo)為

因?yàn)辄c(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為2的圓上，

所以有所以點(diǎn)

(2)當(dāng)M分PP?@之比為時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則的坐標(biāo)為

因?yàn)辄c(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為2的圓上，所以有，

例6、設(shè)向量=(1，0)，=(x+m)+y=(x-m)+y|+|(I)求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程;

(II)已知點(diǎn)A(-1，0)，設(shè)直線y=(x-2)與點(diǎn)P的軌跡交于B、C兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得?若存在，求出m的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：(I)∵=(1，0)，=(0，1)，|=6

上式即為點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)(-m，0)與到點(diǎn)(m，0)距離之和為6.記F1(-m，0)，F(xiàn)2(m，0)(0

|PF1|+|PF2|=6|F1F2|

又∵x0，P點(diǎn)的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓的右半部分.

∵2a=6，a=3

又∵2c=2m，c=m，b2=a2-c2=9-m2

所求軌跡方程為(x0，0

(II)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，

而y1y2=(x1-2)?(x2-2)

=[x1x2-2(x1+x2)+4]

[x1x2-2(x1+x2)+4]

=[10x1x2+7(x1+x2)+13]

若存在實(shí)數(shù)m，使得成立

則由[10x1x2+7(x1+x2)+13]=

可得10x1x2+7(x1+x2)+10=0①

消去y，得(10-m2)x2-4x+9m2-77=0②

因?yàn)橹本�與點(diǎn)P的軌跡有兩個(gè)交點(diǎn).

由①、④、⑤解得m2=9，且此時(shí)△0

但由⑤，有9m2-77=0與假設(shè)矛盾

不存在符合題意的實(shí)數(shù)m，使得

例7、已知C1：，拋物線C2：(y-m)2=2px(p0)，且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點(diǎn).

(Ⅰ)當(dāng)ABx軸時(shí)，求p、m的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上;

(Ⅱ)若p=，且拋物線C2的焦點(diǎn)在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.

解：(Ⅰ)當(dāng)ABx軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m=0，直線AB的方程為x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，)或(1，-).

此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，該焦點(diǎn)不在直線AB上.

(Ⅱ)當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB上時(shí)，由(Ⅰ)知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1).

因?yàn)镃2的焦點(diǎn)F(，m)在y=k(x-1)上.

所以k2x2-(k2+2)x+=0②

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0③

由于x1、x2也是方程③的兩根，所以x1+x2=

又m=-m=或m=-

當(dāng)m=時(shí)，直線AB的方程為y=-(x-1);

當(dāng)m=-時(shí)，直線AB的方程為y=(x-1).

例8、已知橢圓C：(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，離心率為e.直線l：y=ex+a與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)=.

(Ⅰ)證明：(Ⅱ)若，△MF1F2的周長為6，寫出橢圓C的方程;

(Ⅲ)確定解：(Ⅰ)因?yàn)锳、B分別為直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是A(-，0)，B(0，a).

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，a=2c

由△MF1F2的周長為6，得2a+2c=6

a=2，c=1，b2=a2-c2=3

故所求橢圓C的方程為

(Ⅲ)∵PF1lPF1F2=90BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即|PF1|=C.

設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由

即當(dāng)(注：也可設(shè)P(x0，y0)，解出x0，y0求之)

【模擬試題】

一、選擇題

1、動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)和的距離的和為8，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為

A、橢圓B、線段C、無圖形D、兩條射線

2、設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是

A、C、2--1

3、(2004年高考湖南卷)F1、F2是橢圓C：的焦點(diǎn)，在C上滿足PF1PF2的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為

A、2個(gè)B、4個(gè)C、無數(shù)個(gè)D、不確定

4、橢圓的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長為

A、32B、16C、8D、4

5、已知點(diǎn)P在橢圓(x-2)2+2y2=1上，則的最小值為

6、我們把離心率等于黃金比是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)、A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則等于

A、C、

二、填空題

7、橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)為和，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦距為，長軸長為，短軸長為，離心率為，準(zhǔn)線方程為.

8、設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i=1，2，)，使得|FP1|、|FP2|、|FP3|組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍是.

9、設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且，則得.

10、若橢圓=1的準(zhǔn)線行于x軸則m的取值范圍是

三、解答題

11、根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)和橢圓共準(zhǔn)線，且離心率為.

(2)已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).

12、已知軸上的一定點(diǎn)A(1，0)，Q為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程

13、橢圓的焦點(diǎn)為=(3，-1)共線.

(1)求橢圓的離心率;

(2)設(shè)M是橢圓上任意一點(diǎn)，且=、R)，證明為定值.

【試題答案】

1、B

2、D

3、A

4、B

5、D(法一：設(shè)，則y=kx代入橢圓方程中得：(1+2k2)x2-4x+3=0，由△0得：.法二：用橢圓的參數(shù)方程及三角函數(shù)的有界性求解)

6、C

7、(;(0，);6;10;8;;.

10、m且m0.

11、(1)設(shè)橢圓方程.

所求橢圓方程為的坐標(biāo)為

13、解：設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，則為鈍角.當(dāng)且僅當(dāng).

14、(1)解：設(shè)橢圓方程，F(xiàn)(c，0)，則直線AB的方程為y=x-c，代入，化簡得：

由=(x1+x2，y1+y2)，共線，得：3(y1+y2)+(x1+x2)=0，

又y1=x1-c，y2=x2-c

3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0，x1+x2=

(2)證明：由(1)知a2=3b2，所以橢圓可化為x2+3y2=3b2

∵M(jìn)2+3